هندسه پایه دوازدهم ریاضی

هندسه پایه دوازدهم از دروس اختصاصی رشته ریاضی است که در رشته تجربی به‌صورت مختصر تر بررسی می‌شود. همان‌طور که در مقاله‌های پیشین بیان کرده‌ایم، هندسه در دسته ریاضیات قرار دارد و علمی است که به بررسی ضوابط مربوط به احجام و اشکال می‌پردازد. اکثر اشیاء اطراف ما دارای طول، عرض و ارتفاع هستند؛ برای انجام معاملات مربوط به املاک و زمین نیاز به مساحت داریم، بستنی قیفی شما در یک مقطع مخروطی قرار دارد و هزاران مثال دیگر که نشان می‌دهد، زندگی ما با هندسه و در حقیقت با ریاضیات گره خورده‌است.

«هیچ دانسته‌ی بشر را نمی‌توان علم نامید، مگر اینکه از طریق ریاضیات توضیح داده شده و ثابت شود .»  لئوناردو داوینچی

البته زندگی ما به همه علوم گره خورده‌است و در واقع ترکیبی از همه آن‌ها، آسایش و پیشرفت را برای ما فراهم کرده‌است ولی بسیاری از دانشمندان معتقدند که ما در تمام علوم، ریاضیات می‌باشد.

از دیگر کاربردهای بسیار مشهود هندسه، می‌توان به معماری و طراحی اشاره کرد. در حقیقت خانه‌ای که شما در آن زندگی می‌کنید بر اساس روابط هندسی بنا شده‌است! هندسه دارای زیر شاخه‌های مختلفی می‌باشد:

دانش‌آموزان پایه دوازدهم تجربی، با درس هندسه در کتاب درسی ریاضیات آشنا خواهند شد؛ ولی دانش‌آموزان رشته ریاضی به دلیل اهمیت هندسه در دروس دانشگاهی، مفصل‌تر با این مبحث آشنا شده و کتاب جداگانه خواهند داشت که به صورت تخصصی به مباحث مربوط به محاسبات هندسی پرداخته که در این مقاله قصد داریم که به معرفی آن ها بپردازیم. با ما همراه باشید.

مباحث مربوط به کتاب درسی هندسه پایه دوازدهم ریاضی به شرح زیر می‌باشد:

فصل اول: ماتریس و کاربردها

به تعریف کتاب درسی از ماتریس‌ها دقت نمایید:

«یکی از کاربردی‌ترین مباحث و موضوع‌های ریاضی میحث ماتریس است. امروزه از ماتریس به عنوان ابزاری قوت در شاخه‌های دیگر ریاضیات به‌خصوص در فیزیک کوانتوم (هایزنبرگ، اولین شخصی که ماتریس‌ها را در فیزیک به کار برد، می‌گوید: تنها ابزاری که من در مکانیک کوانتوم نیاز دارم، ماتریس است.) در رایانه و علومی چون آمار، حسابداری و… استفاده می‌شود. ریاضیات کاربردی، در تمام گرایش‌ها نیاز مبرم به ماتریس دارد زیرا در بیشتر موارد، حل مسائل کاربردی و عملی با حل دستگاه‌های معادلات و نامعادلات پیوند می‌خورد و حل این دستگاه‌ها با ماتریس ارتباط تنگاتنگی دارد.»

شاید از خود بپرسید که مفهوم ماتریس به چه معناست؟ به زبان ساده، ماتریس مجموعه‌ای از اعداد است در هر ردیف و ستون، که دارای آرایش مستطیلی می‌باشد. این مبحث کاربرد مختلفی در علوم کامپیوتر و همچنین فیزیک به‌خصوص فیزیک کوانتوم و نورشناسی دارد. در واقع ماتریس مبحثی است که برای اولین‌بار در پایه دوازدهم و صرفا برای رشته ریاضی بیان شده‌است. تعداد ۱۸ سوال از هندسه در درس ریاضی طرح می‌شود که ۳ عدد از آن مرتبط به ماتریس و کاربردهای آن می‌باشد. ماتریس و مقاطع مخروطی بخش‌هایی می‌باشند که تعداد تست‌های بیشتری نسبت به سایر سرفصل‌ها دارا می‌باشد پس لطفا از اهمیت این دروس غافل نشوید!

شما در هندسه پایه دوازدهم ریاضی با مطالب زیر در بخش اول آشنا خواهید شد:

فصل دوم: آشنایی با مقاطع مخروطی

در ریاضیات، مقاطع مخروطی به این صورت تعریف می‌شود: از تقاطع یک صفحه با مخروط، اشکال مختلفی حاصل می‌شود که به هر یک از آن‌ها مقاطع مخروطی گفته می‌شود. براساس نوع برخورد، اشکال زیر حاصل می‌شود:

مقاطع مخروطی در زندگی روزمره کاربرد فراوانی دارند. مسائل بازتاب نور با استفاده از بیضی قابل حل هستند. به‌علاوه در علم پزشکی با استفاده از همین قوانین می‌توانند سنگ کلیه را از بین ببرند! جدا از کاربردهای مقاطعی مخروطی در زندگی روزمره، همانطور که قبلا بیان شد مقاطع مخروطی دارای تست‌های بیشتری نسبت به سایر مباحث در کنکور سراسری می‌باشد. تست‌های این مبحث دارای پیچیدگی خاصی نبوده ولی نیاز به تکرار و تمرین دارند. به‌علاوه شباهت برخی از فرمول‌ها به یکدیگر ممکن است شما را به اشتباه بیاندازد؛ پس لطفا خلاصه کوتاهی از فرمول‌ها تهیه کرده و هر روز با خود تکرار کنید.

فصل سوم هندسه پایه دوازدهم: بردارها

ما از حل بسیاری از مسائل فیزیکی در مقیاس بزرگ ناتوان هستیم؛ برای مثال برآیند گیری از نیروهای وارده به زمین در این حجم عملا ممکن نیست؛ پس باید به مدل‌سازی روی بیاوریم؛ یعنی اجسام عظیم را یک نقطه در نظر گرفته، از نیروهای جزئی صرف نظر کرده و نیروهای اصلی را همانند یک بردار در نظر بگیریم، در این صورت می‌توانیم بسیاری از مسائل را به راحتی حل کنیم. این مورد یکی از کاربردهای بردار می‌باشد. در واقع بردار یک پاره خط جهت‌دار می‌باشد. در رابطه با توضیحات بالا، به مثال بیان شده از کتاب درسی هندسه دوازدهم توجه کنید:

« بنا به گزارشات هوانوردی، بیشترین سوانح هوایی هنگام فرود آمدن و برخاستن هواپیما رخ می‌دهد. یکی از سخت‌ترین شرایط فرود هنگامی است که باد شدید در جهت غیر هم‌راستا با خط فرود می‌وزد. در این شرایط خلبان می‌بایست هواپیما را در جهتی قرار دهد که برآیند بردارهای نیروی محرکه هواپیما و نیروی باد در مسیر خط فرود قرار بگیرد. به این نوع نشستن هواپیما فرود خرچنگی می‌گویند.»

در این مثال اگر هواپیما را یک نقطه در نظر بگیریم، با استفاده از فرآیندهای برداری به‌راحتی می‌توان راه حل این مشکل را به دست آورد.

علاوه‌بر آن در درس ریاضی همه ما با بردارهای مختصاتی x و y آشنا شده‌ایم که نشان دهنده طول و عرض می‌باشند؛ ولی آیا اجسام اطراف ما فقط شامل همین دو بعد هستند؟ پاسخ منفی است. اجسام اطراف ما شامل طول و عرض و ارتفاع می‌باشند. این ارتفاع در دستگاه مختصات در کتاب درسی هندسه دوازدهم تحت عنوان بردار R₃  معرفی شده است. به‌علاوه، می‌توان بر روی بردارها چهار عمل اصلی را انجام داده ولی توجه داشته باشید که عملیات برداری با عملیات جبری متفاوت از یکدیگر خواهند بود.

چگونه هندسه پایه دوازدهم را بخوانیم؟

هندسه از جمله دروسی است که تست‌های آن تنوع زیادی دارند. دقت داشته باشید که در بخشی از مطالب، فرمول‌ها شبیه به یکدیگر هستند خلاصه‌نویسی در این موارد لازم می‌باشد. سعی کنید که در مواجهه با سوالات پیچیده، ابتدا یک نمونه ساده حل کرده و با تعمیم راه‌حل آن سوالات پرچالش را پاسخ دهید.